Question

20．（1）已知a，b，c＞0且a+b+c=1，求证：$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}≤3\sqrt{2}$；
（2）已知n∈N^*，求证：$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{n}}}≤2\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 （1）运用构造向量法，设$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3a+1}$，$\sqrt{3b+1}$，$\sqrt{3c+1}$），由|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|，计算即可得证；
（2）运用数学归纳法证明，注意解题步骤，当n=k+1时，要证的目标是$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}＜2\sqrt{k+1}$，当代入归纳假设后，就是要证明：$2\sqrt{k}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}＜2\sqrt{k+1}$．

解答 证明：（1）设$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3a+1}$，$\sqrt{3b+1}$，$\sqrt{3c+1}$），
则|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3（a+b+c）+3}$=$\sqrt{6}$，
由|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|，
可得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$；
（2）①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边＜右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}＜2\sqrt{k}$．
那么当n=k+1时，$1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{k}}}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}$$＜2\sqrt{k}+\frac{1}{{\sqrt{k+1}}}=\frac{{2\sqrt{k}\sqrt{k+1}+1}}{{\sqrt{k+1}}}$
$＜\frac{{k+（{k+1}）+1}}{{\sqrt{k+1}}}=\frac{{2（{k+1}）}}{{\sqrt{k+1}}}=2\sqrt{k+1}$，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查构造向量法和数学归纳法的证明，属于中档题．