Question

17．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点和右顶点分别为B、A，线段AB的中心为D，且k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面积为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于M、N两点，以线段OM、ON为邻边作平行四边形OMPN，点P在椭圆上，求点O到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面积为2$\sqrt{2}$，建立方程，解得即可得出．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立，求出P的坐标，代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为$\sqrt{2}$．即可得出．

解答 解：（1）∵k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面积为2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}•\frac{b}{-a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$ab=2$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，
代入椭圆方程，化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，化为4+8k²-m²＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∴x₀=x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
∵点P在椭圆M上，∴代入化为m²=1+2k²，满足△＞0．
又点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$≥1．当且仅当k=0时取等号．
当直线l斜率不存在时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），直线l的方程为x=±$\sqrt{2}$，
∴点O到直线l的距离为$\sqrt{2}$．
∴点O到直线l的距离的最小值为1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．