Question

7．已知定义在R上的函数f（x）=m-$\frac{2}{{{5^x}+1}}$
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）是奇函数，求m的值；
（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[-3，1]，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用单调性的定义，判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）是奇函数，则f（x）+f（-x）=0，即可求m的值；
（3）求出f（x）的值域为D，利用D⊆[-3，1]，建立不等式，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）判断：函数f（x）在R上单调递增
证明：设 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{5^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{5^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{{5^{x_1}}+1}）（{{5^{x_2}}+1}）}}$
∵${x_1}＜{x_2}∴{5^{x_1}}+1＞0，{5^{x_2}}+1＞0，{5^{x_1}}-{5^{x_2}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增；                   
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，∴m=1
（3）由${5^x}＞0⇒0＜\frac{2}{{{5^x}+1}}＜2⇒m-2＜m-\frac{2}{{{5^x}+1}}＜m$，
∴D=（m-2，m）．
∵D⊆[-3，1]，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-2≥-3}\\{m≤1}\end{array}}\right.⇒-1≤m≤1$，
∴m的取值范围是[-1，1]

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．