Question

16．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函数图象过点（1，2）．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函数图象过点（1，2），代入计算求实数m的值；
（Ⅱ）利用函数f（x）的奇偶性的定义，判断与证明；
（Ⅲ）利用导数证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函数图象过点（1，2），
∴2=1+m，∴m=1；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∴f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-f（x），∴函数是奇函数；
 （Ⅲ）∵x∈（0，1），∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＜0，∴函数是单调递减函数．

点评 本题考查求函数的解析式，考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．