题目内容
12.下列函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( )A. | $y=x+\frac{1}{x}$ | B. | y=xsinx+cosx | C. | $y={e^x}-\frac{1}{e^x}$ | D. | $y=ln\frac{1-x}{1+x}$ |
分析 根据单调性的定义可以判断函数$y=x+\frac{1}{x}$在(0,1)上单调递减,从而A错误;根据奇函数在原点有定义时x=0对应的函数值便可判断B错误;根据奇函数的定义,以及函数导数符号和函数单调性的关系便可判断出C满足条件;而对于D先分离常数,然后可根据单调性的定义判断该函数在(0,1)内单调递减,从而D错误.
解答 解:A.x∈(0,1)时,$\frac{1}{x}$>1,∴x增大速度小于$\frac{1}{x}$的减小速度;
∴该函数在(0,1)上单调递减;
B.y=xsinx+cosx的定义域为R;
x=0时,y=1≠0;
∴该函数不是奇函数;
C.该函数定义域为R,设y=f(x),则:f(-x)=$\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}=-f(x)$;
∴该函数为奇函数;
$f′(x)={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}>0$;
∴该函数在(0,1)内单调递增;
∴该选项正确;
D.$y=ln\frac{1-x}{1+x}=ln(-1+\frac{2}{1+x})$;
∴x增大时,$-1+\frac{2}{1+x}$减小,∴y减小;
∴该函数在(0,1)上单调递减.
故选C.
点评 考查函数单调性的定义,以及根据单调性的定义判断一个函数单调性的方法,奇函数的定义,奇函数f(x)在原点有定义时,f(0)=0,以及分离常数法的运用.
练习册系列答案
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20.当实数k变化时,对于方程(2|x|-1)2-(2|x|-1)-k=0的解的判断不正确的是( )
A. | $k<-\frac{1}{4}$时,无解 | B. | $k=-\frac{1}{4}$时,有2个解 | ||
C. | $-\frac{1}{4}<k≤0$时,有4个解 | D. | k>0时,有2个解 |
4.设集合$A=\left\{{x\left|{{x^2}≤1}\right.}\right\},B=\left\{{x\left|{\frac{1}{x}≥0}\right.}\right\}$,则A∩B=( )
A. | (-∞,1] | B. | [0,1] | C. | (0,1] | D. | (-∞,0)∪(0,1] |