题目内容
【题目】已知椭圆
（
），的两个焦点
， 
，点
在此椭圆上.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆
相交于
两点，设点
，记直线
的斜率分别为
，求证： 
为定值.
【答案】（1）
；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）依题意， 
，利用点
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得
，从而可得椭圆的方程；
（2）①当直线
的斜率不存在时，求出
的坐标，进而可得直线
的斜率，即可求得结论；②当直线
的斜率存在时，直线
的方程为： 
，代入
，利用韦达定理及斜率公式可得结论．
试题解析：(1)根据焦点坐标得： 
，而点
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，根据椭圆的对称性故有
；所以
,
故椭圆
的方程为
．
（2）①当直线的斜率不存在时，由
，解得
，不妨设
， 
，则
为定值。
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
，将
代入
整理化简得： 
。
设
，则
，
又
，所以
，
综上
为常数2.
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