Question

9．已知f（x）=$\frac{2}{\sqrt{k{x}^{2}+4kx+3}}$．
（1）若f（x）定义域为R，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）定义域为（-6，2），求实数k的值；
（3）若f（x）值域为（0，+∞），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）定义域为R，则kx²+4kx+3＞0恒成立，故k=0，或$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k＜0\end{array}\right.$，
（2）若f（x）定义域为（-6，2），则-6，2是一元二次方程kx²+4kx+3=0的两根，由韦达定理可得答案；
（3）若f（x）值域为（0，+∞），故二次函数t=kx²+4kx+3的图象开口朝下，且与x轴仅有交点，进而可得答案．

解答 解：（1）若f（x）定义域为R，则kx²+4kx+3＞0恒成立，
故k=0，或$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k＜0\end{array}\right.$，
解得：k∈[0，$\frac{3}{4}$）；
（2）若f（x）定义域为（-6，2），则-6，2是一元二次方程kx²+4kx+3=0的两根，
由韦达定理得：-6×2=-12=$\frac{3}{k}$，解得：k=-$\frac{1}{4}$，
（3）若f（x）值域为（0，+∞），
故二次函数t=kx²+4kx+3的图象开口朝上，且与x轴仅有交点，
故$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k≥0\end{array}\right.$，
解得：k≥$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．