Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：{a_n+2ⁿ}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₁+a₃=2（a₂+5），2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7，由此能求出a₁，a₂的值．
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，得2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），两式相减整理得{a_n+2ⁿ}是首项为3，公比为3的等比数列．由此能求出a_n=3ⁿ-2ⁿ．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列，
∴a₁+a₃=2（a₂+5），①，
当n=1时，2a₁=a₂-3，②
当n=2时，2（a₁+a₂）=a₃-7，③
∴联立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．
（2）证明：由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，①得2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），②，
两式相减得2a_n=a_n+1-a_n-2n（n≥2），
$\frac{{a}_{n+1}+{2}^{n+1}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$=$\frac{3{a}_{n}+{2}^{n}+{2}^{n+1}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$=3（n≥2）．
∵$\frac{{a}_{2}+{2}^{2}}{{a}_{1}+2}$=3，∴{a_n+2ⁿ}是首项为3，公比为3的等比数列．
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ．

点评 本题考查数列中前两项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．