Question

13．设x₁，x₂…x_n是独立的连续型随机变量，x_i的分布函数为F_i（x），令：
x（1）=min（x₁，x₂…x_n）
x（n）=max（x₁，x₂…x_n）
试求随机变量x（k）的分布函数．

Answer 1

分析 由独立的连续型随机变量和分布函数，结合已知条件，利用F${\;}_{{x}_{（n）}}$（x）=P（x_（n）≤x）和F${\;}_{{x}_{（1）}}$（x）=P（x_（1）≤x）=1-P（x_（1）＞x），能求出随机变量x（k）的分布函数．

解答 解：由已知得：
F${\;}_{{x}_{（n）}}$（x）=P（x_（n）≤x）
=P（x₁≤x，x₂≤x，…，x_n≤x）
=P（x₁≤x）P（x₂≤x）…P（x_n≤x）
=F₁（x）F₂（x）…F_n（x）．
F${\;}_{{x}_{（1）}}$（x）=P（x_（1）≤x）=1-P（x_（1）＞x）
=1-P（x₁＞x，x₂＞x，x₃＞x，…，x_n＞x）
=1-P（x₁＞x）P（x₂＞x）…P（x_n＞x）
=1-（1-F₁（x））（1-F₂（x））…（1-F_n（x））．

点评 本题考查随机变量x（k）的分布函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意独立的连续型随机变量和分布函数的灵活运用．