Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调递减区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】试题分析：

（1）由可求得，求导后令解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数，则问题等价于在上恒成立．当时，求导可得在上单调递增，又，故不满足题意．当时，可得的最大值为，因为单调递减，且， ，所以当时， ，从而可得整数的最小值为2．

试题解析：

（1）因为，

所以，

故，

所以 ，

由，解得，

所以的单调减区间为．

（2）令， ，

由题意可得在上恒成立．

又．

①当时，则．

所以在上单调递增，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立．

②当时， ，

令，得．

所以当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减．

故当时，函数取得极大值，也为最大值，且最大值为．

令，

则在上单调递减，

因为， ．

所以当时， ，

所以整数的最小值为2．