题目内容

【题目】设函数的反函数为,若存在函数使得对函数定义域内的任意都有,则称函数为函数的“Inverse”函数.

1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.

;②

2)设函数存在反函数,证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为

3)设函数存在反函数,函数的一个“Inverse”函数,记,其中,若对函数定义域内的任意都有,求所有满足条件的函数的解析式.

【答案】1)②是函数f(x)=log2x的“Inverse”函数,理由见解析;(2)证明见解析;(3.

【解析】

1)分别判断①和②是否满足即可得到结果;

2)先证充分性,若函数的值域为,设其定义域为D,则函数的定义域为,值域为D ,判断是否满足,证明其存在性,再设函数都为函数的“Inverse”函数且不相同,利用反证法证明唯一性;再证必要性,若函数存在唯一的“Inverse”函数,同样利用反证法,假设函数的值域为,令,通过证明函数都为函数的“Inverse”函数且不相同,这与唯一性矛盾,从而得证;

3)由(2)知,的一个“Inverse”函数,易得,,即,根据一一对应的性质可得,所以.

1)易得,对于①,,故①不是,

对于②,,故②是函数的“Inverse”函数;

2)先证充分性,若函数的值域为,设其定义域为D

则函数的定义域为,值域为D

则对任意都有,

故函数为函数的“Inverse”函数,存在性得证;

设函数都为函数的“Inverse”函数且不相同,

则存在,且,因为的值域为

故存在,使得,即

,矛盾,故唯一性得证.

所以函数存在唯一的“Inverse”函数.

再证必要性,若函数存在唯一的“Inverse”函数,

即存在唯一的函数满足,下面用反证法证明必要性.

假设函数的值域为

则对任意都有,

函数都为函数的“Inverse”函数且不相同,这与唯一性矛盾,

所以函数的值域为,必要性得证.

综上,函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为

3)由(2)知,的一个“Inverse”函数,

由反函数的性质可知,都是一一对应的.

,则

,根据一一对应的性质可得

,所以满足条件的函数的解析式为.

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