题目内容
【题目】设函数的反函数为
,若存在函数
使得对函数
定义域内的任意
都有
,则称函数
为函数
的“Inverse”函数.
(1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①;②
;
(2)设函数存在反函数
,证明函数
存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数
的值域为
;
(3)设函数存在反函数
,函数
为
的一个“Inverse”函数,记
,其中
,若对函数
定义域内的任意
都有
,求所有满足条件的函数
的解析式.
【答案】(1)②是函数f(x)=log2x的“Inverse”函数,理由见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)分别判断①和②是否满足即可得到结果;
(2)先证充分性,若函数的值域为
,设其定义域为D,则函数
的定义域为
,值域为D, 令
,
,判断是否满足
,证明其存在性,再设函数
和
都为函数
的“Inverse”函数且不相同,利用反证法证明唯一性;再证必要性,若函数
存在唯一的“Inverse”函数,同样利用反证法,假设函数
的值域为
,令
,
,通过证明函数
和
都为函数
的“Inverse”函数且不相同,这与唯一性矛盾,从而得证;
(3)由(2)知,是
的一个“Inverse”函数,易得,
,即
,根据一一对应的性质可得
,所以
.
(1)易得,对于①,
,故①不是,
对于②,,故②是函数
的“Inverse”函数;
(2)先证充分性,若函数的值域为
,设其定义域为D,
则函数的定义域为
,值域为D,
令,
,
则对任意都有,
,
故函数为函数
的“Inverse”函数,存在性得证;
设函数和
都为函数
的“Inverse”函数且不相同,
则存在,
,
,且
,因为
的值域为
,
故存在,使得
,即
,
,
则,矛盾,故唯一性得证.
所以函数存在唯一的“Inverse”函数.
再证必要性,若函数存在唯一的“Inverse”函数,
即存在唯一的函数满足
,下面用反证法证明必要性.
假设函数的值域为
,
令,
,
则对任意都有,
,
且,
,
函数和
都为函数
的“Inverse”函数且不相同,这与唯一性矛盾,
所以函数的值域为
,必要性得证.
综上,函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数
的值域为
;
(3)由(2)知,是
的一个“Inverse”函数,
由反函数的性质可知,和
都是一一对应的.
则,
又,则
,
即,根据一一对应的性质可得
,
则,所以满足条件的函数
的解析式为
.
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