题目内容
【题目】
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acosC+ccosA=2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)求sinB+sinC的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题(1)要求解,已知条件中有角有边,一般情况下我们可以利用正弦定理把边化为角的关系,本题acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可化为,于是有
,即
,而
,于是
,
;(2)由(1)
,且
,
,由两角和与差的正弦公式可转化为
,再由正弦函数的性质可得取值范围.
试题解析:(1)因为acosC+ccosA=2bcosA,所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,
即sin(A+C)=2sinBcosA.
因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB.
从而sinB=2sinBcosA.
因为sinB≠0,所以
因为0<A<π,所以
(2)
因为,所以
.
所以sinB+sinC的取值范围为.
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