题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,焦点在轴上的椭圆
经过点
,其中
为椭圆
的离心率.过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于
两点(
在
轴下方).
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且平行于
的直线交椭圆
于点
,
,求
的值;
(3)记直线与
轴的交点为
.若
,求直线
的斜率
.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】试题分析:(1)将点坐标代入椭圆方程,化简可得(2)根据投影可得
,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简可得定值(3)先求交点坐标,再根据
,得
,利用(2)韦达定理得等量关系,解出直线
的斜率
.
试题解析:(1)因为椭圆经过点
,所以
.
因为,所以
.
因为,所以
.
整理得,解得
或
(舍),所以椭圆
的方程为
.
(2)设,
.因为
,则直线
的方程为
.
联立直线与椭圆方程
,
消去,得
,所以
.
因为,所以直线
方程为
,
联立直线与椭圆方程
,消去
得
,解得
.
因为,所以
.
因为
,
,
所以
.
(3)在中,令
,则
,所以
,
从而,
.
因为,所以
,即
.
由(2)知, .
由,解得
,
.
因为,所以
,
整理得,解得
或
(舍).
又因为,所以
.
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