题目内容
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论函数在区间上的单调性;
(Ⅲ)证明不等式对任意成立.
(Ⅰ)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论函数在区间上的单调性;
(Ⅲ)证明不等式对任意成立.
(Ⅰ).
(Ⅱ)函数在区间单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
从而可得,
得到对任意成立.
通过取,,得,.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意成立.
(Ⅱ)函数在区间单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
从而可得,
得到对任意成立.
通过取,,得,.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意成立.
试题分析:(Ⅰ)首先求,切线的斜率,求得切线方程.
(Ⅱ)当时,根据,只要考查的分子的符号.
通过讨论,得时在区间上单调递增;
当时,令求得其根. 利用“表解法”得出结论:函数在区间单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
从而可得,
得到对任意成立.
通过取,,得,.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意成立.
试题解析:.
(Ⅰ)当时,,切线的斜率,
所以切线方程为,即. 3分
(Ⅱ)当时,因为,所以只要考查的符号.
由,得,
当时,,从而,在区间上单调递增;
当时,由解得. 6分
当变化时,与的变化情况如下表:
函数在区间单调递减,在区间上单调递增. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
所以,
即对任意成立. 11分
取,,
得,即,. 13分
将上述n个不等式求和,得到:,
即不等式对任意成立. 14分
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