Question

【题目】已知向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）= 在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0， ]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1+cosωx+a+ sinωx=2sin（ωx+ ）+a+1．

因为函数f（x）在R上的最大值为2，

所以3+a=2，故a=﹣1．

（2）解：由（1）知：f（x）=2sin（ωx+ ），

把函数f（x）=2sin（ωx+ ）的图象向右平移 个单位，可得函数

y=g（x）=2sinωx．

又∵y=g（x）在[0， ]上为增函数，

∴g（x）的周期T= ≥π，即ω≤2，

∴ω的最大值为2

【解析】（1）把向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）= 整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+ ）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0， ]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，以及对三角函数的最值的理解，了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．