题目内容
【题目】已知向量 =(1+cosωx,1),
=(1,a+
sinωx)(ω为常数且ω>0),函数f(x)=
在R上的最大值为2.
(1)求实数a的值;
(2)把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位,可得函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,
]上为增函数,求ω的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)=1+cosωx+a+ sinωx=2sin(ωx+
)+a+1.
因为函数f(x)在R上的最大值为2,
所以3+a=2,故a=﹣1.
(2)解:由(1)知:f(x)=2sin(ωx+ ),
把函数f(x)=2sin(ωx+ )的图象向右平移
个单位,可得函数
y=g(x)=2sinωx.
又∵y=g(x)在[0, ]上为增函数,
∴g(x)的周期T= ≥π,即ω≤2,
∴ω的最大值为2
【解析】(1)把向量 =(1+cosωx,1),
=(1,a+
sinωx)(ω为常数且ω>0),代入函数f(x)=
整理,利用两角和的正弦函数化为2sin(ωx+
)+a+1,根据最值求实数a的值;(2)由题意把函数y=f(x)的图象向右平移
个单位,可得函数y=g(x)的图象,利用y=g(x)在[0,
]上为增函数,就是周期≥π,然后求ω的最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象,以及对三角函数的最值的理解,了解函数
,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
,
.
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