Question

【题目】已知椭圆C1 ， 抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2 ），（一2，0），（4，一4），（ ）． （Ⅰ）求C1 ， C2的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交与不同的两点M，N且满足 ？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），

则有 ，x≠0，

据此验证4个点知（3，﹣2 ），（4，﹣4）在抛物线上，

∴C2：y2=4x，

设C1： ，（a＞b＞0），

把点（﹣2，0），（ ， ）代入，得：

，解得 ，

∴ 的方程为： ．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，

直线l的方程为x=1，直线l交抛物线于M（1， ），N（1，﹣ ），

≠0，不满足题意，

当直线l的斜率存在时，假设存在直线l，过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），

由 ，消去y并整理，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

∴ ， ，①

y1y2=k（x1﹣1）k（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]，

∴ =﹣ ，②

由 ，即 =0，得x1x2+y1y2=0，

将①，②代入（*）式，得 = ，

解得k=±2，

∴存在直线l满足条件，且l的方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0

【解析】（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有 ，≠0，由此能求出C2：y2=4x，设C1： ，（a＞b＞0），由题意得 ，由此能求出 的方程为： ．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，直线l交抛物线于M（1， ），N（1，﹣ ）， ≠0，不满足题意，当直线l的斜率存在时，假设存在直线l，过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由 ，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．