Question

【题目】如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点． （Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，

∴B1C1⊥平面ABB1A1；

∵A1B平面ABB1A1，

∴B1C1⊥A1B．

又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，

∴A1B⊥平面ADC1B1，

∵A1B平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（Ⅱ）证明：连接EF，EF∥ ，且EF= ，

设AB1∩A1B=O，

则B1O∥C1D，且 ，

∴EF∥B1O，且EF=B1O，

∴四边形B1OEF为平行四边形．

∴B1F∥OE．

又∵B1F平面A1BE，OE平面A1BE，

∴B1F∥平面A1BE，

（Ⅲ）解： = = = = ．

【解析】（Ⅰ）由正方体可得：B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B．又A1B⊥AB1，可得A1B⊥平面ADC1B1，即可证明．（Ⅱ）证明：连接EF，利用三角形中位线定理可得四边形B1OEF为平行四边形．可得B1F∥OE．即可证明B1F∥平面A1BE，（Ⅲ）利用 = = 即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．