题目内容
【题目】如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是棱DD1、C1D1的中点. (Ⅰ)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)证明:B1F∥平面A1BE;
(Ⅲ)若正方体棱长为1,求四面体A1﹣B1BE的体积.
【答案】(Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,
∴B1C1⊥平面ABB1A1;
∵A1B平面ABB1A1,
∴B1C1⊥A1B.
又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
∴A1B⊥平面ADC1B1,
∵A1B平面A1BE,
∴平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)证明:连接EF,EF∥ ,且EF=
,
设AB1∩A1B=O,
则B1O∥C1D,且 ,
∴EF∥B1O,且EF=B1O,
∴四边形B1OEF为平行四边形.
∴B1F∥OE.
又∵B1F平面A1BE,OE平面A1BE,
∴B1F∥平面A1BE,
(Ⅲ)解: =
=
=
=
.
【解析】(Ⅰ)由正方体可得:B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B.又A1B⊥AB1,可得A1B⊥平面ADC1B1,即可证明.(Ⅱ)证明:连接EF,利用三角形中位线定理可得四边形B1OEF为平行四边形.可得B1F∥OE.即可证明B1F∥平面A1BE,(Ⅲ)利用 =
=
即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对平面与平面垂直的判定的理解,了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

【题目】某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关,对50名高中学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢打篮球 | 不喜欢打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 |
已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢打篮球的学生的概率为
(Ⅰ)请将上述列联表补充完整;
(Ⅱ)判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关?
附:K2=
p(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |