题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时, x2+ln x<
x3.
【答案】(1)a=4;(2)见解析.;(3)见解析.
【解析】
(1)由f′(2)=0即可求出a=4。
(2)由题可得f(x)的定义域为x>0。求出f′(x) =x-,当a≤0时f′(x) >0恒成立。故f(x)在 (0,+∞) 单调递增;当a>0时,令f′(x)>0解得即为f(x)的单调増区间,令f′(x)<0解得即为f(x)的单调减区间。
(3)构造函数g(x)=x3-
x2-ln x,利用导数得出g(x)在(1,+∞)上为单调递增。易得g(x) >0恒成立,进而可得到结论。
(1)解:f′(x)=x- ,因为x=2是一个极值点,
所以2-=0,所以a=4.
(2)解:因为f′(x)=x-,f(x)的定义域为x>0,
所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,f′(x)=x-=
=
,
令f′(x)>0,得x>,
所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);
令f′(x)<0,得0<x<,
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,).
(3)证明:设g(x)=x3-
x2-ln x,
则g′(x)=2x2-x-,
因为当x>1时,g′(x)=>0,
所以g(x)在(1,+∞)上是增函数.
所以g(x)>g(1)=>0.
所以当x>1时,x2+ln x<
x3.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
X1 | 5% | 10% |
P | 0.8 | 0.2 |
X2 | 2% | 8% | 12% |
P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差V(Y1)、V(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.