Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，其中a≤0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设函数g（x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣ax﹣2，f′（1）=﹣1﹣a=2，解得：a=﹣3，

∴f（1）=﹣ a﹣2=﹣ ，

将（1，﹣ ）代入y=2x+b，得：b=﹣ ，

∴a﹣2b=﹣3+5=2；

（2）解：∵f′（x）= ﹣ax﹣2= ，

设φ（x）=﹣ax2﹣2x+1（x＞0，a≤0），

①当a=0时，φ（x）=﹣2x+1，

令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令φ′（x）＜0，解得：x＞ ，

∴f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减；

②当a＜0时，φ（x）对称轴为x=﹣ ＞0，过点（0，1）开口向上，

i）若a≤﹣1，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．

ii）若﹣1＜a＜0，当x∈（0， ）时，f′（x）≥0；当x∈（ ， ）时，f′（x）≤0；

当x∈（ ，+∞）时，f'（x）≥0；

∴f（x）在（0， ）上是增函数，在（ ， ）上是减函数，在（ ，+∞）上是增函数．

（3）解：若任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，

则只需f（x）max≤g（t）min，

函数g（x）=x2﹣3x+3在（0，1]的最小值是g（1）=1，

由（2）得：a=0时，f（x）=lnx﹣2x在（0， ）递增，在（ ，1]递减，

∴f（x）max=f（ ）=﹣1﹣ln2＜1，成立，

﹣1＜a＜0时， ≥1，∴f（x）在（0，1]递增，

f（x）max=f（1）=﹣ a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，

a≤﹣1时，f（x）在（0，1]上是增函数，

f（x）max=f（1）=﹣ a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，

综上，a∈[﹣6，0]．

【解析】（1）求出f（x）的导数，得到f′（1）=2，解得a的值，将a的值代入求出f（1），将（1，f（1））代入方程y=2x+b求出b的值，从而求出a﹣2b的值即可；（2）二次函数根的讨论问题，分a＞0，a＜0情况进行讨论．；（3）问题转化为f（x）max≤g（t）min ， 分别求出其最大值和最小值即可得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．