题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)试问是否存在,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 存在;的取值范围为
.
【解析】
(1),
,
所以得
,所以通过对
与
的大小关系进行分类讨论得
的单调性;
(2)假设存在满足题意的的值,由题意需
,所以由(1)的单调性求
即可;
又因为对
恒成立,所以可以考虑从区间
内任取一个
值代入,解出
的取值范围,从而将
的范围缩小减少讨论.
解:(1),
.
当时,
,
在
上单调递增
当时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增
当时,
在
上单调递减,在
,
上单调递增;
当时,
在
上单调递减,在
,
上单调递增.
(2)假设存在,使得
对
恒成立.
则,即
,
设,则存在
,使得
,
因为,所以
在
上单调递增,
因为,所以
时
即
.
又因为对
恒成立时,需
,
所以由(1)得:
当时,
在
上单调递增,所以
,
且成立,从而
满足题意.
当时,
在
上单调递减,在
,
上单调递增,
所以
所以(*)
设,
,则
在
上单调递增,
因为,
所以的零点小于2,从而不等式组(*)的解集为
,
所以即
.
综上,存在,使得
对
恒成立,且
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地级市共有中小学生,其中有
学生在
年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为
,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助
元、
元、
元,经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加
,一般困难的学生中有
会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有
转为一般困难,特别困难的学生中有
转为很困难.现统计了该地级市
年到
年共
年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份
取
时代表
年,
与
(万元)近似满足关系式
,其中
,
为常数.(
年至
年该市中学生人数大致保持不变)
其中,
(1)估计该市年人均可支配年收入;
(2)求该市年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?
附:对于一组具有线性相关关系的数据,
,
,
,其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩,分数制成如图的茎叶图,其中
组学生每天学习数学时间不足
个小时,
组学生每天学习数学时间达到一个小时,学校规定
分及
分以上记为优秀,
分及
分以上记为达标,
分以下记为未达标.
(1)根据茎叶图完成下面的列联表:
达标 | 未达标 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(2)判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.
参考公式与临界值表:,其中
.