题目内容
【题目】交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ΔABC田地(如图)建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN、AP,其中M、N分别为AC、BC的中点,点P在CN上.规划在小路MN和AP的交点O(O与M、N不重合)处设立植物精油体验点,图中阴影部分为植物精油提炼处,空白部分为芳香植物生长区,A、N为出入口(小路宽度不计).为节约资金,小路MO段与OP段建便道,供芳香植物培育之用,费用忽略不计,为车辆安全出入,小路AO段的建造费用为每百米4万元,小路ON段的建造费用为每百米3万元.
(1)若拟建的小路AO段长为百米,求小路ON段的建造费用;
(2)设∠BAP=,求
的值,使得小路AO段与ON段的建造总费用最小,并求岀最小建造总费用(精确到元).
【答案】(1) 小路ON段的建造费用为3万元.
(2) 当时,小路AO段与ON段的建造总费用最小,最小费用约为
元.
【解析】
(1) 在△ 中,
,
,∠
,利用余弦定理可求解
长度,结合
即可求解;
(2)在△ 中,
,∠
,
,
,利用正弦定理可求
,结合
,可建立关于
的函数,利用导数即可判断最值.
(1)由为
中点,得
,在△
中,∠
,由余弦定理可得,
,解得
或-3(舍去),又
,所以
,故小路ON段的建造费用为3万元.
(2)在△ 中,∠
,
,由正弦定理可得,
,即
,
,故小路AO段与ON段的建造总费用为
,
则,令
,得
,
,令
,得
,
,故当
时,小路AO段与ON段的建造总费用最小,由
,得
,故最小费用为
元.
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