Question

已知函数f（x）=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠A为锐角，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求b，c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出函数f（x）的最大值；
（2）利用f（A）=6和角A的范围求出A，再由三角形的面积公式求出bc的值，由条件和韦达定理求出b、c的值．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
=3（1-cos2x）-（1+cos2x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x+2=4

2

sin(2x-

π

4

)+2，
所以当sin(2x-

π

4

)=1时，函数f（x）取到最大值是：4

2

+2，
（2）因为f（A）=6，
所以4

2

sin(2A-

π

4

)+2=6，则sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
因为∠A为锐角，所以-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，
则2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

，
因为△ABC的面积为3，所以

1

2

bcsinA=3，解得bc=6

2

，
因为b+c=2+3

2

，所以b、c是方程x2-(2+3

2

)x+6

2

=0的两个根，
解得b=2、c=3

2

或b=3

2

、c=2，
所以b，c的值是2、3

2

或3

2

、2．

点评：本题考查二倍角公式、两角差的正弦公式，正弦函数的性质，以及三角形的面积公式和韦达定理，属于中档题．