Question

3．在△ABC中，角A、B、C成等差数列，b=$\sqrt{3}$，则△ABC的周长的最大值为（　　）

• A． 3$+\sqrt{3}$
• B． 2$+\sqrt{3}$
• C． 1$+2\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，设周长为y=a+b+c，将表示出的a与c，以及b的值代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出△ABC的周长的最大值．

解答 解：∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B=π-B，
解得：B=$\frac{π}{3}$，
∵b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴c=2sinC，a=2sinA，
设周长为y，
则y=a+b+c=2sinA+2sinC+$\sqrt{3}$
=2sinA+2sin[π-（$\frac{π}{3}$+A）]+$\sqrt{3}$
=2sinA+2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=2sinA+2sinAcos$\frac{π}{3}$+2cosAsin$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，即$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$≤3$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．