Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x≤1}\\{\frac{3}{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，则满足f（f（a））=|2^f（a）-1|的实数a的取值范围为a≤1或a≥4．

Answer 1

分析 通过函数解析式，由f（f（a））=|2^f（a）-1|可知f（a）≤1，分a≤1、a＞1两种情况讨论即可．

解答 解：∵f（f（a））=|2^f（a）-1|，
∴f（a）≤1，
下面对a与1的大小进行讨论：
①当a≤1时，1-2^a≤1，
∴2^a≥0，∴a∈R，
∴a≤1；
②当a＞1时，$\frac{3}{a-1}$≤1，
∴a-1≥3，即a≥4，
∴a≥4；
综上所述，a≤1或a≥4，
故答案为：a≤1或a≥4．

点评 本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．