Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知△ABC的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，c=$\sqrt{7}$，sin²A+sin²B-sin²C-sinAsinB=0．
（1）求角C；
（2）求a+b．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出cosC，把得到的三边关系式变形后代入求出cosC的值，根据C为三角形的内角，可求C的值；
（2）利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由三角形面积公式可求ab的值，利用余弦定理即可可求出a+b的值．

解答 解：（1）利用正弦定理化简sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，
得：a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴根据余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C为三角形的内角，则解得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得ab=3，
则由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-9．解得：a+b=4．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．