题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的零点;
(2)当时,求证:
在区间
上单调递减;
(3)若对任意的正实数,总存在
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)讨论,
且
,
,解方程可得零点;
(2)可令,运用单调性的定义,证得
在
递减,可得
,即可得到证明;
(3)由题意可得,由绝对值的含义,化简
,得到在
的单调性,即有
,运用绝对值不等式的性质,可得
的最大值,即可得到
的范围.
解:(1)当时,
的零点为
;
当且
时,由
得
,
由一元二次方程求根公式得,的零点为
;
当时,方程
中的判别式
,故
无零点;
(2)证明:当时,
,可令
,
任取,
,
由,可得
,
,进而
,
即,可得
在
上递减,
可得时,
,
则,
即在区间
上单调递减;
(3)对任意的正实数,总存在
,
,使得
,则
,
当时,
,
则在
递减,在
,
递增,
可得,
由于,设
,可得
,
,
可得,即有
,可得
,
则.
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