Question

【题目】如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为_______.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

连结,由、分别为、的中点,则∥,所以四点共面,截面图形为等腰梯形，然后对各个命题进行逐一判断.

连结,由、分别为、的中点.

则∥,又∥，所以∥且=.

所以截面四边形形为等腰梯形.

对①, 、，分别为、的中点,

所以∥,且=，则四边形为平行四边形,

所以∥,所以∥平面，故①正确.

对②, ∥,在中，,

显然与不垂直，则直线与直线不垂直，故②不正确.

对③, 平面截正方体所得的截面为四边形,

又四边形为等腰梯形,其中,,

梯形的高为,

则其面积为.故③正确.

对④，点是的中点，所以到面的距离相等.

、分别为、的中点,延长交的延长线于点,

即直线交平面于点,则为的中点,如图,

分别过作平面的垂线，垂足分为，

所以分别为点到面的距离,则三点共线，

根据三角形的相似可得:,所以到面的距离不相等，

则点与点到平面的距离不相等,故④不正确.

对⑤, 由条件可知多面体为棱台，

其体积为,

平面截正方体所得两个几何体的体积比为,故⑤正确.

故答案为：①③⑤.