题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最小值;
(2)若,求证:
.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)由得
,对其求导,解对应的不等式,判断单调性,即可得出最值;
(2)先对函数求导,得到,根据
,判断函数
的单调性,求出最小值,再由导数的方法研究
最小值的范围,即可证明结论成立.
(1)当时,由
,得
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增,∴
.
(2)由题意,函数的定义域为,
,
令,
,则
,设
,则
,
易知在
上单调递增,
∵,∴
,
,所以存在唯一的
,使
,
当时,
单调递减,当
时,
,
单调递增,
又∵,
,
∴当时,
,即
在
上无零点,
∴存在唯一的,使
,即
,
∵,∴
,则
.
当时,
,即
,
单调递减;
当时,
,即
,
单调递增.
∴,
.
令,则
在
上单调递减,
∵∴
,又∵
∴
,从而
.
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