题目内容
【题目】已知
，函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
是的极值点，且曲线
在两点
，
处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为
、
，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，
（2）由x＝2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得
，同理，
．求出b1﹣b2，再构造函数，
利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围
（1）
，
①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，
时f'（x）＜0，
时，f'（x）＞0，
即f（x）在上单调递减，在单调递增；
（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴由（1）可知
，
∴a=1，设在P（x1，f（x1））处的切线方程为
，
在Q（x2，f（x2））处的切线方程为
∴若这两条切线互相平行，则
，∴
∵
，且0＜x1＜x2＜6，∴
，∴
，
∴x1∈（3，4）令x=0，则
，
同理，
．
【解法一】
∵，∴
设
，
∴
∴g（x）在区间
上单调递减，∴
即b1-b2的取值范围是．
【解法二】
∵
，
∴
令
，其中x∈（3，4）
∴
∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴
∴b1-b2的取值范围是．
【解法三】
∵x1x2=2（x1+x2），
∴
设
，则
∵
，∴g'（x）＞0，
∴函数g（x）在区间
上单调递增，
∴，∴b1-b2的取值范围是．
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