题目内容
【题目】已知椭圆过点
,
,其上顶点到直线
的距离为2,过点
的直线
与
,
轴的交点分别为
、
,且
.
(1)证明:为定值;
(2)如上图所示,若,
关于原点对称,
,
关于原点对称,且
,求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)其上顶点到直线
的距离为2,求出
,点
代入椭圆方程,可求出椭圆方程,设经过点
的直线方程为:
,可得
,
.利用
,可得
,利用两点之间的距离公式可得
;
(2)由(1)得直线的方程为
,与椭圆方程联立求出
,由点到直线距离公式,求出
到直线
距离,求出四边形
面积的关于
的表达式,结合
关系,由基本不等式求出最大值.
(1)其上顶点到直线
的距离为2,
,解得
.
又椭圆过点
,
,解得
.
∴椭圆的标准方程为:.
点在椭圆上,
.
设经过点的直线方程为:
,
可得,
.
,
即
.
为定值.
(2)由(1)得直线斜率为
,
方程为
,
即,
,
联立解得
,
,
点到直线
的距离为
,
当且仅当,即
时,等号成立,
,
四边形面积的最大值为
.
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练习册系列答案
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(1)完成列联表,并回答能否有
的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合计 |
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024> | 6.635 |