Question

17．已知函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-2a（$\frac{1}{2}$）^x（a∈R）．
（1）若f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=-1有两解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得方程f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-2a（$\frac{1}{2}$）^x=0有解，从而化为a=$\frac{（\frac{1}{4}）^{x}}{2（\frac{1}{2}）^{x}}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^x=（$\frac{1}{2}$）^x+1＞0；
（2）方程f（x）=-1可化为（$\frac{1}{4}$）^x-2a（$\frac{1}{2}$）^x+1=0，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4＞0}\\{2a＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）有零点，
∴方程f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-2a（$\frac{1}{2}$）^x=0有解，
即a=$\frac{（\frac{1}{4}）^{x}}{2（\frac{1}{2}）^{x}}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^x=（$\frac{1}{2}$）^x+1＞0；
故实数a的取值范围为（0，+∞）；
（2）方程f（x）=-1可化为（$\frac{1}{4}$）^x-2a（$\frac{1}{2}$）^x+1=0，
故$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4＞0}\\{2a＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞1；
故实数a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．