Question

9．（1）随机变量ξ的分布列如下：

ξ	-1	0	1
P	a	b	c

其中a、b、c成等差数列，则P（|ξ|=1）=$\frac{2}{3}$，公差d的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
（2）设离散型随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	0.2	0.1	0.1	0.3	m

求：①2X+1的分布列；②|X-1|的分布列．

Answer 1

分析 （1）由a、b、c成等差数列和随机变量ξ的分布列的性质求出b=$\frac{1}{3}$，a+c=$\frac{2}{3}$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{3}-d≤1}\\{0≤\frac{1}{3}+d≤1}\end{array}\right.$，由此能求出结果．
（2）由分布列的性质得先求出m=0.3，再列表，从而能求出2X+1的分布列和|X-1|的分布列．

解答 解：（1）∵a、b、c成等差数列，
∴由随机变量ξ的分布列的性质得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2b}\\{a+b+c=1}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{1}{3}$，a+c=$\frac{2}{3}$，
∴P（|ξ|=1）=P（ξ=-1）+P（ξ=1）=a+b=$\frac{2}{3}$，
由a、b、c成等差数列，b=$\frac{1}{3}$，随机变量ξ的分布列的性质得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{3}-d≤1}\\{0≤\frac{1}{3}+d≤1}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}≤d≤\frac{1}{3}$，
∴公差d的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
故答案为：$\frac{2}{3}$，[-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．
（2）由分布列的性质得：
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3，
列表：

X	0	1	2	3	4
2X+1	1	3	5	7	9
|X-1|	1	0	1	2	3

由上表得到：
2X+1的分布列为：

2X+1	1	3	5	7	9
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

|X-1|的分布列为：

|X-1|	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.3	0.3

点评 本题考查概率的求法，考查等差数列的公差的取值范围的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，解题时要注意分布列的性质的合理运用．