Question

7．（理科）已知f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x） （a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）单调性．

Answer 1

分析 （1）定义域容易得到为R，然后可求出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}$$（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}）$，讨论a＞1和0＜a＜1，从而判断出$\frac{a}{{a}^{2}-1}$的符号，根据指数函数的单调性从而判断出${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$的符号，从而得出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，这便可得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）f（x）定义域为R，f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{-{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{-{x}_{2}}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}）$；
∵a＞0且a≠1；
∴①a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}＞0$；
∵x₁＜x₂；
∴${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}，{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＜0$，$1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上为增函数；
②0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}＜0$；
∵x₁＜x₂；
∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R为增函数；
∴对任意的a＞0，且a≠1，f（x）在R上为增函数．

点评 考查函数奇偶性的定义，及判断函数奇偶性的方法和过程，函数单调性的定义，以及根据函数单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式．