Question

8．已知f（x）=sin（2015x+$\frac{π}{6}$）+cos（2015x-$\frac{π}{3}$）的最大值为A，若存在实数x₁、x₂，使得对任意实数x总有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则A|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{2015}$
• B． $\frac{2π}{2015}$
• C． $\frac{4π}{2015}$
• D． $\frac{π}{4030}$

Answer 1

分析 根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，
再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出 A|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：f（x）=sin（2015x+$\frac{π}{6}$）+cos（2015x-$\frac{π}{3}$）
=sin2015xcos$\frac{π}{6}$+cos2015xsin$\frac{π}{6}$+cos2015xcos$\frac{π}{3}$+sin2015xsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2015x+$\frac{1}{2}$cos2015x+$\frac{1}{2}$cos2015x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2015x
=$\sqrt{3}$sin2015x+cos2015x
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2015x+$\frac{1}{2}$cos2015x）
=2sin（2015x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x） 的最大值为A=2；
由题意得，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2015}$，
∴A|x₁-x₂|的最小值为$\frac{2π}{2015}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．