Question

13．已知a∈R⁺，b∈[-2，$\sqrt{2}$]，则u=（b-a）²+（$\sqrt{2-{b}^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²的最小值为8．

Answer 1

分析 u=（b-a）²+（$\sqrt{2-{b}^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²表示的是两点M$（b，\sqrt{2-{b}^{2}}）$，N$（a，\frac{9}{a}）$之间的距离的平方．由于点M满足：x²+y²=2，点N满足：xy=9．设N$（a，\frac{9}{a}）$是曲线xy=9上的任意一点．则|ON|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{6}$，即可得出M，N两点之间的距离的最小值．

解答 解：u=（b-a）²+（$\sqrt{2-{b}^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²表示的是两点M$（b，\sqrt{2-{b}^{2}}）$，N$（a，\frac{9}{a}）$之间的距离的平方．
由于点M满足：x²+y²=2，点N满足：xy=9．
设N$（a，\frac{9}{a}）$是曲线xy=9上的任意一点．则|ON|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{81}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{81}{{a}^{2}}}}$=3$\sqrt{2}$，当且仅当a²=9时取等号，
∴M，N两点之间的距离的最小值为2$\sqrt{2}$．
∴u=（b-a）²+（$\sqrt{2-{b}^{2}}$-$\frac{9}{a}$）²的最小值为$（2\sqrt{2}）^{2}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．