Question

3．已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程：
（2）l是与圆P，圆M都相切的-条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．分①l的倾斜角为90°．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，确定Q（-4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，求出直线l的方程，再求|AB|．

解答 解：（1）由圆M：（x+1）²+y²=1，可知圆心M（-1，0）；圆N：（x-1）²+y²=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（去掉点（-2，0））
（2）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．
①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0，|AB|=2$\sqrt{3}$．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则$\frac{|QP|}{|QM|}$=$\frac{R}{{r}_{1}}$，可得Q（-4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l与M相切可得：$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+4），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得7x²+8x-8=0，∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{18}{7}$．

点评 本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．