题目内容

20.已知函数f(x)=2cos2$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若α为第二象限角,且f(α+$\frac{π}{3}$)=-$\frac{1}{5}$,求$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值.

分析 (1)由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性和值域求得f(x)的最小正周期和值域.
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα 的值,可得 sinα和 tanα
的值,从而求得$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值.

解答 解:(1)由于函数f(x)=2cos2$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx=cosx+$\sqrt{3}$sinx+1=2sin(x+$\frac{π}{6}$)+1,
故函数f(x)的最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π,再根据sin(x+$\frac{π}{6}$)∈[-1,1],可得函数f(x)的值域为[-1,3].
(2)∵α为第二象限角,且f(α+$\frac{π}{3}$)=2sin(α+$\frac{π}{2}$)+1=2cosα+1=-$\frac{1}{5}$,
∴cosα=-$\frac{3}{5}$,∴sinα=$\frac{4}{5}$,tanα=-$\frac{4}{3}$,
∴$\frac{cos2α}{1-tanα}$=$\frac{{2cos}^{2}α-1}{1-tanα}$=$\frac{2×\frac{9}{25}-1}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{25}$.

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中的符号,正弦函数的周期性和值域,属于基础题.

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