题目内容
8.
(Ⅰ)证明:E为AB的中点;
(Ⅱ)求二面角A-C1E-D的余弦值.
分析 (Ⅰ)连接AD1,则D1C1∥DC∥AB,证明四边形AEC1D1为平行四边形,即可证明:E为AB的中点;
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面DEC1的法向量、平面AEC1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角A-C1E-D的余弦值.
解答 (Ⅰ)证明:连接AD1,则D1C1∥DC∥AB,∴A、E、C1、D1四点共面,
∵C1E∥平面ADD1A1,则C1E∥AD1,
∴四边形AEC1D1为平行四边形,
∴AE=D1C1=1,
∴E为AB的中点.(6分)
(Ⅱ)解:建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),
E(2,1,0),C1(0,1,2),$\overrightarrow{DE}$=(2,1,0),
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,1,2),$\overrightarrow{AE}$=(0,1,0),$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=(-2,1,2),
设平面DEC1的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+2z=0\end{array}$,
令x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-2,1).
设平面AEC1的法向量为$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),则$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+b+2c=0\end{array}$,令a=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1).
cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故二面角A-C1E-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.(12分)
点评 本题考查线面平行的性质,考查二面角A-C1E-D的余弦值,考查学生分析解决问题的能力,正确求出平面的法向量是关键.

A. | ($\frac{ln2}{2}$,$\frac{1}{e}$) | B. | ($\frac{ln2}{8}$,$\frac{1}{4e}$) | C. | ($\frac{ln2}{8}$,$\frac{1}{2e}$) | D. | ($\frac{ln2}{8}$,$\frac{ln2}{4}$) |
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |