Question

16．已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，则$\frac{1}{ab}$的最小值是$\frac{1}{18}$．

Answer 1

分析 由a，b为正实数，便有$2b+a≥2\sqrt{2ab}$，从而便可得到$ab+2\sqrt{2}•\sqrt{ab}-30≤0$，把$\sqrt{ab}$看成一个未知数，便可解出$\sqrt{ab}$的范围，从而得出$\frac{1}{ab}$的范围，即可得出其最小值．

解答 解：a，b为正实数；
∴$30=2b+a+ab≥2\sqrt{2}•\sqrt{ab}+ab$；
∴$ab+2\sqrt{2}•\sqrt{ab}-30≤0$；
解得$-5\sqrt{2}≤\sqrt{ab}≤3\sqrt{2}$，a＞0，b＞0；
∴$0＜\sqrt{ab}≤3\sqrt{2}$；
∴0＜ab≤18；
∴$\frac{1}{ab}≥\frac{1}{18}$；
∴$\frac{1}{ab}$的最小值为$\frac{1}{18}$．
故答案为：$\frac{1}{18}$．

点评 考查利用基本不等式求最小值的方法，注意应用基本不等式所具备的条件，以及熟练求解一元二次不等式．