题目内容
17．已知对一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a2+4a恒成立，求x的取值范围．分析 求出-a2+4a的最大值，再分类讨论，解不等式，即可求x的取值范围．
解答 解：-a2+4a=-（a-2）2+4≤4，
∵对一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a2+4a恒成立，
∴|2x+1|+|x+2|≥4
x＜-2时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3≥4，∴x≤-$\frac{7}{3}$；
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1≥4，∴x≤-3，不成立；
x＞-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3≥4，∴x≥$\frac{1}{3}$
综上，x≤-$\frac{7}{3}$或x≥$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查求x的取值范围，考查函数的最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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