题目内容
【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)(3)见证明
【解析】
(1)对函数求导,分类讨论和
两种情况,即可得出结果;
(2)分类参数的方法,将化为
,再由导数的方法求
在
的最小值即可;
(3)先由(1)令可知对任意实数
都有
,即
,再令
,即可证明结论成立.
解:(1)因为,所以
,
①当时,
,函数
在区间
上单调递增;
②当时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)因为对任意的,不等式
恒成立,即不等式
恒成立.
即当时,
恒成立.
令,则
.
显然当时,
,
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
∴时
取最小值
.
所以实数的取值范围是
(3)在(1)中,令可知对任意实数
都有
,
即(等号当且仅当
时成立)
令,则
,即
故

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