题目内容
【题目】已知,
.
(1)若,判断函数
在
的单调性;
(2)证明:
,
;
(3)设
,对
,
,有
恒成立,求
的最小值.
【答案】(1)在
单调递增(2)见解析(3)2
【解析】
(1)计算导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用
,得到
,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算
导函数,构造新函数
,判断
最小值,构造函数
,计算范围,得到k的最小值,即可。
解:(1).
又,因此
,而
,
所以,故
在
单调递增.
(2)由(1)可知时,
,
即,
设,则
因此
即
.
即结论成立.
(3)由题意知,
,
设,
则,
由于,故
,
时,
单调递增,又
,
,
因此在
存在唯一零点
,使
,即
,
且当,
,
,
单调递减;
,
,
,
单调递增;
故
,
故
,
设
,又设
故在
上单调递增,因此
,
即,
在
单调递增,
,
又,
所以,
故所求的最小值为
.
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练习册系列答案
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所用时间 | 10 | 11 | 12 | 13 |
通过公路1的频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
通过公路2的频数 | 10 | 40 | 40 | 10 |
(1)为进行某项研究,从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆,若用分层随机抽样的方法抽取,求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆:
(2)若从(1)的条件下抽取的6辆汽车中,再任意抽取2辆汽车,求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率;
(3)假设汽车A只能在约定时间的前11h出发,汽车B只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙,汽车A和汽车B应如何选择各自的道路?