Question

3．（1）已知a，b，c均为正数，证明：a²+b²+c²+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）²≥6$\sqrt{3}$，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
（2）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可证明；
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 （1）证明：法一：
∵a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a²+b²+c²≥3$\root{3}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$，①
（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$，②
∴$（{\frac{1}{{{a^{\;}}}}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}+\frac{1}{{{c^{\;}}}}}）$²≥9$\root{3}{\frac{1}{（abc）^{2}}}$．
故a²+b²+c²+$（{\frac{1}{{{a^{\;}}}}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}+\frac{1}{{{c^{\;}}}}}）$²≥3$\root{3}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$+9$\root{3}{\frac{1}{（abc）^{2}}}$≥3×2$\sqrt{\root{3}{（abc）^{2}}×3\root{3}{\frac{1}{（abc）^{2}}}}$=$6\sqrt{3}$．③
∴原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3$\root{3}{（abc）^{2}}$=9$\root{3}{\frac{1}{（abc）^{2}}}$时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=$\root{4}{3}$时，原式等号成立．
法二：∵a，b，c均为正数，由基本不等式得
a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac．①
同理$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$≥$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$，②
故a²+b²+c²+$（{\frac{1}{{{a^{\;}}}}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}+\frac{1}{{{c^{\;}}}}}）$²≥ab+bc+ac+3（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$）≥6$\sqrt{3}$．③
∴原不等式成立，
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=$\root{4}{3}$时，原式等号成立．
（2）解：由柯西不等式得$（1•\sqrt{4a+1}+1•\sqrt{4b+1}+1•\sqrt{4c+1}）^{2}$≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）=3[4（a+b+c）+3]=21，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时等号成立
故$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}$的最大值为$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．