Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ACD，且，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面PAD；

（Ⅱ）求直线PA与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出向量和平面的法向量，再由向量数量积公式，即得.

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴

∵四边形ABCD为正方形，∴，又，∴平面PAD，

∵平面PCD，∴平面平面PAD

（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，∴，，，

设平面AEC的法向量为，则，，即，

令，得平面AEC的一个法向量为，∴

∴直线PA与平面AEC所成角的正弦值为．