题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形ABCD为正方形，
平面ACD，且
，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：平面
平面PAD；
（Ⅱ）求直线PA与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出向量
和平面
的法向量，再由向量数量积公式，即得.
（Ⅰ）证明：∵
平面ABCD，
平面ABCD，∴
∵四边形ABCD为正方形，∴
，又
，∴
平面PAD，
∵平面PCD，∴平面
平面PAD
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，∴
，
，
，
设平面AEC的法向量为
，则
，
，即
，
令
，得平面AEC的一个法向量为
，∴
∴直线PA与平面AEC所成角的正弦值为．
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