Question

【题目】已知圆M过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线y=x﹣3上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣4，1）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆M过点A（1，3），B（4，2），

∴线段AB的中点坐标为（ ， ），直线AB的斜率kAB= =﹣ ，

∴AB的中垂线方程为y﹣ =3（x﹣ ），即y=3x﹣5，

∵圆心M在直线y=x﹣3上．∴由 ，得M（1，﹣2），

∴r=|MA|= =5，

∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=25．

（Ⅱ）当直线l的方程为x=﹣4时，符合条件，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1=k（x+4），即kx﹣y+4k+1=0，

圆心M到直线l的距离d= =5，解得k= ，

∴y= ，

综上，直线l的方程为x=﹣4或y=

【解析】（Ⅰ）求出线段AB的中点坐标为（ ， ），直线AB的斜率kAB=﹣ ，从而得到AB的中垂线方程为y=3x﹣5，再由圆心M在直线y=x﹣3上，联立方程组，求出圆心M，从而求出r=|MA|，由此能求出圆M的方程．（Ⅱ）当直线l的方程为x=﹣4时，符合条件，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y+4k+1=0，则圆心M到直线l的距离d= =5，求出k，由此能求出直线l的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．