Question

【题目】设函数f（x）=9x+m3x ， 若存在实数x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣1]
【解析】解：∵f（﹣x0）=﹣f（x0），

∴ +m =﹣ ﹣m ，

∴m=﹣（ + ）+ ，

令t= + ，则t≥2，

故m=﹣t+ ，（t≥2），

函数y=﹣t与函数y= 在[2，+∞）上均为单调递减函数，

∴m=﹣t+ （t≥2）在[2，+∞）上单调递减，

∴当t=2时，m=﹣t+ （t≥2）取得最大值﹣1，即m≤﹣1，

所以答案是：（﹣∞，﹣1]．

【考点精析】利用函数的零点与方程根的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．