题目内容

【题目】已知函数f（x）= ﹣k（ +lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，e]
B.[0，e]
C.（﹣∞，e）
D.[0，e）

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）= ﹣k（ +lnx）， ∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∴f′（x）= ﹣k（﹣ + ）=
∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=ex﹣kx
g′（x）=ex﹣k
①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的
g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解
②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk
0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk
∴k﹣klnk＞0
∴k＜e，
由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），
综上所述，k≤e．
故选C
由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

练习册系列答案
相关题目

【题目】先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：
已知 ，求证： .
【证明】构造函数 ，则 ，
因为对一切 ，恒有 .
所以 ，从而得 .
（1）若 ，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明.

【题目】已知直线l：x－2y＋2m－2＝0．

(1)求过点(2，3)且与直线l垂直的直线的方程；

(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由直线的斜率为，可得所求直线的斜率为，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线与两坐标轴的交点分别为，则所围成的三角形的面积为，根据直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为大于，构造不等式，解得答案.

试题解析：(1)与直线l垂直的直线的斜率为－2，

因为点(2，3)在该直线上，所以所求直线方程为y－3＝－2(x－2)，

故所求的直线方程为2x＋y－7＝0．

(2) 直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2，0)，(0，m－1)，

则所围成的三角形的面积为×|－2m＋2|×|m－1|．

由题意可知×|－2m＋2|×|m－1|＞4，化简得(m－1)2＞4，

解得m＞3或m＜－1，

所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】在平面直角坐标系中，已知经过原点O的直线与圆交于两点。

（1）若直线与圆相切，切点为B，求直线的方程；

（2）若，求直线的方程；

【题目】电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．
表1

观看方式
年龄（岁）

电视

网络

150

250

120

80


求：（I）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；
（II）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：

【题目】为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．
（I）求X的分布列和数学期望 ；
（II）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．
原则：设 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若 ，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注： ）

【题目】已知函数f（x）=x3+3x2-9x ．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c的取值范围．

【题目】口袋中装有2个白球和n（n≥2，n N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．

【题目】将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（ ）
A.f（x）=﹣2sinx
B.f（x）=2sinx
C.f（x）= sin2x
D.f（x）= （sin2x+cos2x）

【题目】王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1 ， L2 两条路线（如图），L1 路线上有 A1 ， A2 ， A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2 路线上有 B1 ， B2 两个路．各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．若走 L1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为；若走 L2 路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为 ．

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