Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3x2-9x ．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）=x3+3x2-9x的定义域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）

令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，

f（x）与f '（x）在（- ，+ ）上的情况如下：

x	（+ ,-3）	-3	（-3,1）	1	（1,+ ）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

所以f（x）的单调递增区间为（- ，-3）和（1，+ ）；单调递减区间为（-3，1），

（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中结论可知：

当c≥1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为f（1）=1+3-9 =-5；

当-4<c<1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值大于-5，不合题意舍，

因此，c的取值范围是[1，+ ）．

【解析】(1)求出函数的导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间。(2)通过讨论c的范围，求出函数的最值从而求出c的取值范围。
【考点精析】掌握二次函数在闭区间上的最值和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道当时，当时，；当时在上递减，当时，；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．