Question

【题目】口袋中装有2个白球和n（n≥2，n N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．

Answer 1

【答案】解：（I）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）= ，

（II）由（I）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p= = = ，

所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）= ，

（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，

则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为

f（p）=C p（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），

因为f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），

所以，当p∈（0， ）时，f（p）单调递增；当p∈（ ，1）时，f（p）单调递减，

所以，当p= 时，f（p）取得最大值．

令 ，解得n=2，n=1（舍去）．

所以，当f（p）取得最大值时，n的值为2．

【解析】（I）根据题意结合排列组合再利用概率的定义求出即可。（II）利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率求出结果。（III）根据题意求出概率f（p）的解析式，对其求导利用导函数的性质得到原函数的单调性进而求出当f（p）取得最大值时，n的值为2。