Question

17．求反函数（1）y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]（2）y=lgx²，x＜-1    （3）y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）

Answer 1

分析 （1）先求出函数y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]的值域，从而求得x=$\sqrt{lo{g}_{7}y-1}$，从而求反函数；
（2）先求出函数y=lgx²，x＜-1的值域，从而求得x=-$\sqrt{1{0}^{y}}$，从而求反函数；
（3）先求出函数y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）的值域，从而求得x=1+$\frac{2}{{e}^{y}-1}$，从而求反函数．

解答 解：（1）y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]的值域为[7，49]，
且x²+1=log₇y，
故x=$\sqrt{lo{g}_{7}y-1}$，
故反函数为y=$\sqrt{lo{g}_{7}x-1}$，x∈[7，49]；
（2）y=lgx²，x＜-1的值域为（0，+∞），
且x²=10^y，
故x=-$\sqrt{1{0}^{y}}$，
故反函数为y=-$\sqrt{1{0}^{x}}$，x∈（0，+∞）；
（3）∵$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$＞1，
∴y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）的值域为（0，+∞），
$\frac{x+1}{x-1}$=e^y，
故x=1+$\frac{2}{{e}^{y}-1}$，
故反函数为y=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，x∈（0，+∞）．

点评 本题考查了反函数的求法．